Du chocolat et des maths

Il y a quelques temps, une connaissance, perplexe, m’avait partagé la vidéo suivante (elle diffuse deux fois de suite la même démonstration) :

Vous l’avez remarqué : le chocolat a perdu un carré, mais il semble ne pas avoir changé de volume. Comment, selon vous, ce « miracle » s’est-il produit? Vous donnez votre langue au chat? Pas de panique! Voici quelques explications.

Au commencement, il y a une tablette de chocolat.

Fig. 1 : Ceci est une tablette de chocolat.

Ensuite on découpe le chocolat comme montré dans la vidéo.

Fig. 2

En déplaçant les blocs, on obtient la tablette de chocolat moins le petit carré rouge.

Fig. 3

Nous avons, au final, une tablette de chocolat. Mais, en le regardant bien, il semble que les pièces près de la diagonale ne collent pas tout à fait ensemble. Ceci est du à la perte de volume (le carré rouge a été enlevé). (C’est quelque chose qu’on remarque un peu moins pour un chocolat à une seule couleur, ce qui est le cas de pas mal de chocolat bien entendu.) D’ailleurs, si nous comparons ce chocolat ci-dessus avec le chocolat de la Figure 2, nous obtenons l’image suivante :

Fig. 4

Le chocolat de gauche est plus petit en hauteur que le chocolat de droite. Donc, il y a bel et bien eu perte de volume, et ce volume vaut celui du petit carré rouge.

Le rêve de produire du chocolat à l’infini n’est donc qu’une chimère (dommage!). Au moins, cette vidéo est une belle illustration de la géométrie (et de la gourmandise).

Parenthèse : un peu de maths

La démonstration est finie, mais, pour ceux et celles qui s’intéressent plus à l’aspect mathématique des choses, en voici une démonstration algébrique.

Soit $x$ la longueur du côté du petit carré rouge. Le chocolat a donc une longueur de $6x$ et une largeur de $4x$ . L’aire du carré rouge vaut donc $x^2$ , et, avec un peu de calcul, on déduit que l’aire jaune vaut $10x^2$ , l’aire verte $81x^2/8$ et l’aire bleue $23x^2/8$ . Tout cela est représentée dans la figure suivante.

Fig. 5

Maintenant, si l’on veut calculer l’aire du volume du chocolat de la Figure 3, il suffit d’additionner les aires jaune, verte et bleue, ce qui donne

$10x^2 + \frac{81x^2}{8} + \frac{23x^2}{8} = \frac{80x^2 + 81x^2 + 23x^2}{8} = \frac{184 x^2}{8} = 23 x^2$ .

Or, l’aire du chocolat à l’état initial (Figure 1 et 2) est de $6x \times 4x = 24 x^2$ . Donc, si l’on soustrait à l’aire du chocolat de la Figure 2, celle de la Figure 3 moins le carré rouge, on obtient $24 x^2 - 23 x^2 = x^2$ , ce qui équivaut à l’aire du petit carré rouge.